BEGIN:VCALENDAR VERSION:2.0 PRODID:researchseminars.org CALSCALE:GREGORIAN X-WR-CALNAME:researchseminars.org BEGIN:VEVENT SUMMARY:Владимир Медведев (Université de Montréal\, НМ У) DTSTART:20200508T143000Z DTEND:20200508T160000Z DTSTAMP:20260404T092653Z UID:SpectralIUM/1 DESCRIPTION:Title: Конформные спектры\, пространства модулей и кобордизмы\nby Владимир Медве дев (Université de Montréal\, НМУ) as part of Семинар по спектральной геометрии\n\n\nAbstract\nПусть $М$ -- компактная поверхность и $с$ -- конформ ный класс на ней. Если поверхность замкн ута\, то конформный спектр определяется как набор чисел $\\sup_{g\\in c}\\lambda_k(M\,g)$\, где $\ \lambda_k(M\,g)$ -- $k$-ое собственное значение оп ератора Лапласа метрики $g$ единичного об ъёма. Аналогично\, конформный спектр Сте клова компактной поверхности $M$ с краем определяется как $\\sup_{g\\in c}\\sigma_k(M\,g)$\, где $\\sigma_k(M\,g)$ -- $k$-ое собственное число Стекл ова метрики $g$ единичной длины границы. К онформный спектр замкнутой поверхности и конформный спектр Стеклова поверхност и с краем -- новые инварианты конформной геометрии поверхностей. Интересно иссле довать их поведение на пространстве мод улей конформных классов на данной повер хности. Особенный интерес представляет собой случай\, когда последовательность конформных классов выходит на границу п ространства модулей. В таком случае гово рят\, что последовательность конформных классов вырождается. В статьях [1] и [2] был и получены явные формулы для предела кон формного спектра замкнутой поверхности и конформного спектра Стеклова поверхно сти с краем\, когда последовательность к онформных классов вырождается. Эти форм улы находят любопытные приложения в исс ледованиях задач о максимальных метрика х в данном конформном классе\, что тесно связано с теорией гармонических отображ ений. Другое любопытное приложение связ ано с исследованием инвариантов Надираш вили-Фридляндера и его аналогов для зада чи Стеклова. Они определяются как $\\inf_{c}\\ sup_{g\\in c}\\lambda_k(M\,g)$ и $\\inf_{c}\\sup_{g\\in c}\\sigma_k(M\,g) $ соответственно (инфимум берётся по все м конформным классам $c$ на $M$). Оказываетс я\, что эти инварианты тесно связаны с те орией кобордизмов. Доклад будет иметь об зорный характер: все необходимые опреде ления будут даны и все нужные факты из ра зличных областей математики будут сообщ ены.\n\nЛитература:\n\n* M.Karpukhin and V. Medvedev. On the Friedlander-Nadirashvili invariants of surfaces. arXiv:1901.09443.\n\n* V. Medvedev. Degenerating sequences of conformal classes and the conformal S teklov spectrum arXiv:2004.13776.\n LOCATION:https://stable.researchseminars.org/talk/SpectralIUM/1/ END:VEVENT BEGIN:VEVENT SUMMARY:Артём Галкин (НИУ ВШЭ) DTSTART:20200515T143000Z DTEND:20200515T160000Z DTSTAMP:20260404T092653Z UID:SpectralIUM/2 DESCRIPTION:Title: Унимодальность распределения соб ственных функций оператора Лапласа-Бель трами и формула монотонности\nby Артём Галкин (НИУ ВШЭ) as part of Семинар по спектра льной геометрии\n\n\nAbstract\nГипотеза о случ айных волнах утверждает\, что при некото рых условиях (таких как эргодичность гео дезического потока) функция распределен ия значений собственных функций операто ра Лапласа-Бельтрами относительно меры объема в некотором смысле стремится к фу нкции плотности гауссовского распредел ения. Оказывается\, если рассмотреть рас пределение значений собственных функци й относительно меры с плотностью $|\\nabla f|^ 2$\, то верно\, что такое распределение явл яется унимодальным с максимумом в нуле. В докладе предлагается обсудить\, каким образом данное утверждение связано с но дальными областями и минимальными повер хностями с весовой функцией. Если остане тся время\, мы также обсудим обобщения ос новного результата на случай оператора Лапласа-Бельтрами с весовой функцией\, а также формулу монотонности для сферичес ких гармоник.\n LOCATION:https://stable.researchseminars.org/talk/SpectralIUM/2/ END:VEVENT BEGIN:VEVENT SUMMARY:Михаил Карпухин (University of California\, Irvine) DTSTART:20200523T150000Z DTEND:20200523T163000Z DTSTAMP:20260404T092653Z UID:SpectralIUM/3 DESCRIPTION:Title: Минимакс для функционала энергии: приложения к геометрической оптимизаци и собственных значений\nby Михаил Карпу хин (University of California\, Irvine) as part of Семинар по спектральной геометрии\n\n\nAbstract\nВ послед ние годы теория минимакса получила знач ительное развитие в геометрическом анал изе и позволила решить несколько извест ных задач в теории минимальных поверхно стей\, в том числе\, гипотезу Уилмора и ги потезу Яу о бесконечном количестве мини мальных гиперповерхностей. В то же время \, как известно из работ Надирашвили и Эл ь Суфи-Илиаса\, метрики\, максимизирующие собственные значения оператора Лапласа \, тесно связаны с минимальными и гармони ческими отображениями в евклидовы сферы . В настоящем докладе мы применим теорию минимакса к задаче оптимизации собствен ных значений и обсудим множество прилож ений\, среди которых точные оценки на соб ственные значения Стеклова и теорема ре гулярности для максимизирующих мер. Док лад основан на совместной работе с Д. Ште рном (D. Stern).\n\nДля лучшего понимания докл ада рекомендуется (но не обязательно) ос вежить в памяти понятие конформного объ ема Ли-Яу или доказательство Херша макси мальности круглой метрики на сфере.\n LOCATION:https://stable.researchseminars.org/talk/SpectralIUM/3/ END:VEVENT END:VCALENDAR